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Voilà une question étrange. Selon Alan Perlis , « un langage de programmation est bas niveau lorsqu’il nécessite de faire attention aux choses qui ne sont pas pertinentes »

Il y a de nombreuses façons d’interpréter le « pas pertinentes ». Prenons un exemple un peu technique mais révélateur. Les réels en machine sont stockés sous la forme d’approximations flottantes. Sur 64 bits, un flottant est constitué d’un bit de signe $s$ , puis de 11 bits pour stocker son exposant $e$ en base 2 et enfin de 52 bits pour sa mantisse $m$ . L’interprétation se fait grâce à la formule

$(-1)^s * 2^{e - 1023} \left(1 + \frac{m}{2^{52}}\right)$

Si on souhaite, à partir d’un flottant récupérer les trois champs $s$ , $e$ et $m$ , comment s’y prendre ? Chaque langage proposant des fonctionnalités bien particulières je propose dans la vidéo qui suit un comparatif en langage C et en langage Ada qui permet de mieux saisir la phrase d’Alan Perlis et d’aborder des aspects souvent ignorés des néophytes de ces langages.

Voyons comment on fait en C :

Et en Ada:

Informatique

Compléments en LyX

mai 19, 2020 Libremaths Laisser un commentaire

Dans ces vidéos, quelques astuces et informations pour rédiger de beaux documents avec LyX.

Commenter des formules avec des accolades inférieures ou supérieures

Utilisation plus approfondie de Minted

Télécharger le fichier de couleurs proposé dans la vidéo et le copier dans votre home en créant les répertoires indiqués. Il est possible de recopier dans un terminal fraîchement ouvert

mkdir texmf/tex/latex/couleurs

puis de copier le fichier téléchargé dans ce dossier

Interaction LyX et LaTeX

Informatique, Mathématiques, Physique

Mes sélections du moment

mai 10, 2020 Libremaths Laisser un commentaire

Comme je ne voulais pas créer un article pour chacun, je vous transmets quelques liens, classés par thèmes, que je recommande chaudement.

Une magnifique présentation de la mécanique quantique par Julien Bobroff :

Restons quantique, mais pas seulement, avec monsieur Alain Connes. Beaucoup moins accessible, mais parfaitement délicieux pour qui a déjà un bon bagage en maths :

Alexandre Astier, « quanticomique » :

En plus terre à terre, plus technophile, mais très clair et très sympathique, Adrien D et son site https://www.linuxtricks.fr et sa chaîne https://www.youtube.com/channel/UCDKPGD9T00eS_l–D_DRTUQ

Côté maths, ça ne changera pas, la référence (surtout pour son forum incroyable) : http://www.les-mathematiques.net/phorum/ Bon, certes, c’est un poil austère, mais alors, quel contenu !

Il y a aussi ce jeune homme qui produit des vidéos que je trouve très intéressantes sans pour autant choisir des thématiques mathématiques faciles. https://www.youtube.com/channel/UC0NCbj8CxzeCGIF6sODJ-7A

Et pour finir en musique, l’incontournable David Louapre sur sa chaîne Science Étonnante:

Informatique

Petit guide d’installation (lyx / latex, sage, fpc, geany …)

mai 10, 2020 Libremaths Laisser un commentaire

La distribution Linux qui va bien

Dans ces vidéos, j’imagine que vous avez déjà installé une distribution Linux de base Debian (ce qui inclut Ubuntu ou Linux Mint). Le net regorge de vidéos expliquant pas à pas la démarche (si vous avez déjà un autre système, comme windows par exemple, l’installation proposera un double démarrage, pas d’inquiétude). Il est aussi possible, pour les moins téméraires, d’installer une machine virtuelle (par exemple avec Virtualbox). Je ne traite pas des installations sur les autres distributions car, d’après mon expérience, le public concerné saurait déjà faire ce que je dis (exceptée peut-être l’astuce pour utiliser minted dans LyX qui requière l’installation de pip3)

Les paquets logiciels nécessaires

Une fois la distribution installée, on peut faire ses courses et aller chercher quelques applications fort utiles quand on fait des maths ou de l’info. Je vous montre comment installer mes favorites, résultat d’un certain nombre d’années d’expériences de tous ces outils et d’autres que j’ai éliminés (mais qui peuvent très bien convenir à certains utilisateurs je n’en doute pas).

De quoi écrire des maths et insérer du code dans des documents efficacement

Voilà c’est parti pour installer tout ce qu’il vous faut en une (voire deux) ligne(s) de commande :

On configure LyX et on fait ses premiers pas avec des raccourcis efficaces

Et maintenant, on configure LyX (avec la petite astuce pour colorer la syntaxe via le paclage Minted) et rédiger de jolis documents :

Comme promis, un petit guide pour taper des maths efficacement en LyX (attention ce n’est pas suffisant, mais bon, il faut déjà bien commencer !)

Utilisation de Sage (en terminal et dans un navigateur)

Algèbre, Contes numériques, Mathématiques

Le conte de Fibonacci démystifié

mai 8, 2020 Libremaths Laisser un commentaire

Si vous avez suivi le conte https://www.libremaths.fr/2020/05/04/un-reste-loin-dans-la-suite-de-fibonacci/, que vous vous êtes dit « heureusement qu’on a des ordinateurs » et que vous aimez croire qu’ils nous sont indispensables, ne lisez surtout pas la suite !

Hé oui, vous vous en doutiez peut-être, la force de la pensée humaine suffisait. Inutile d’aller chercher l’arsenal technologique pour répondre à cette fameuse question : quel est le reste par 25 du terme d’indice $10^{18}$ de la suite de Fibonacci ? Question dont, je le rappelle, la réponse est parfaitement inutile, et donc parfaitement indispensable à tout esthète qui se respecte 🙂

Une façon élégante (à mon goût), de voir le problème est de choisir de travailler dans un anneau bien adapté au problème. Allons-y et commençons par considérer $A=\mathbb{Z}/25\mathbb{Z}$ , $\chi=X^2-X-1\in A[X]$ et $B=\frac{A}{(\chi)}$ . On note enfin $\pi$ l’épimorphisme canonique de $A$ sur son quotient $B$ . Les éléments de $A$ seront notés $\overline{x}$ pour $x\in \mathbb{Z}$ .

Alors $B$ est un $A$ module libre de base $(\pi(1),\pi(X))$ . Par récurrence, on en déduit immédiatement que:

$\pi\left(X^n\right)=\overline{F_n}\pi(X)+\overline{F_{n-1}}$

De plus,, en utilisant l’égalité $\pi\left(X^{2}\right)=\pi\left(X+1\right)$ et le fait que $\pi$ est un morphisme d’anneaux, on obtient :

$\pi\left(X^{25}\right)=\left(\overline{5}\pi\left(X\right)+\overline{3}\right)^{5}=\sum_{k=0}^{5}\overline{\binom{5}{k}}\overline{5}^{k}\pi\left(X\right)^{k}\overline{3}^{5-k}$

Or, pour $k\in\left\{ 1;\dots;5\right\}$ , on a $\overline{5}^{k}\overline{\binom{5}{k}}=\overline{0}$ et donc

$\pi\left(X^{25}\right)=\overline{3}^{5}=\overline{3}^{3}\times\overline{3}^{2}=\overline{2}\times\overline{9}=\overline{18}$

donc

$\pi\left(X^{25m}\right)=\overline{18}^{m}$

conjointement au fait que $\pi\left(X^{n}\right)=\overline{F_{n}}\pi\left(X\right)+\overline{F_{n-1}}$ (pour $n\geqslant1$ ) et que $B$ est un module libre de base $\left(\pi\left(1\right);\pi\left(X\right)\right)$ on en déduit que $F_{25m}$ est nul modulo $25$ pour tout naturel $m$ . Comme $10^{18}$ est un multiple de $25$ , on a bien montré que $F_{10^{18}}$ est divisible par $25$ .

On peut même aller plus loin (attention, on se rapproche de l’infini et l’au delà) : comme $\pi\left(X^{25m}\right)=\overline{18}^{m}$ , et que $\overline{18^4}=\overline{-7}^4=\overline{-1}^2=\overline{1}$ , on en déduit que

$\pi\left(X^{100k}\right)=\overline{1}= \overline{F_{100k}}\pi\left(X\right)+\overline{F_{100k-1}}$

et donc, en résumé : $\overline{F_{100k-1}}=\overline{1}$ et $\overline{F_{100k}}=\overline{0}$ ce qui permet de retrouver la suite de Fibonacci périodiquement, modulo 25, tous les 100 termes !

Et voilà la démystification 🙂

Ada, Algèbre, Contes numériques

Un reste, loin dans la suite de Fibonacci

mai 4, 2020 Libremaths Laisser un commentaire

Épisode 1 : ça parle de quoi cet article ?

Le plus simple est que je vous le raconte en vidéo 😉

Petite remarque: dans cette vidéo je donne un ordre de grandeur du nombre de chiffres de $F_N$ . Mais en fait en notant $r=\frac{\ln\phi}{\ln10}$ , en majorant $\ln(1+x)$ par $x$ (pour $x>0$ ), on obtient assez facilement

$nr-\frac{\ln5}{2\ln10}-2^{-n}<x<nr-\frac{\ln5}{2\ln10}+2^{-n}$

Pour $n=N=10^{18}$ on obtient au dixième près

$x\sim208987640249978733,8$

ce qui montre que $F_{N}$ possède exactement $208987640249978734$ chiffres.

Épisode 2 : si on essayait …

…malgré tout de coder le calcul des termes dans un langage compilé ? (ou encore: si je trouvais un prétexte pour jouer avec le langage Ada ?)

Première partie :

Deuxième partie :

Troisième épisode : les maths à la rescousse !

Un peu d’algèbre linéaire et la fameuse « exponentiation rapide ». Un algorithme qui décoiffe 🙂

Quatrième épisode : encore des maths !

Mais là, on part dans le monde de l’arithmétique modulaire pour appliquer l’algorithme d’exponentiation rapide

Épilogue

On implémente tout ce qu’on a vu en Ada pour donner une réponse instantanée à notre problème

Erratum: il s’agit de monsieur Daniel Feneuille (et non David) dont je voulais parler. Au passage, ses cours sont disponibles ici : https://ada.developpez.com/cours/iut/

Je vous parlais aussi d’un papier que j’ai rédigé sur les suites récurrentes linéaires d’ordre 2 (pour un public averti) :

Société

2020 en France naissance d’un CAPES d’Informatique ?

Vidéo mars 29, 2020 Libremaths Laisser un commentaire

On parle du recrutement de 1500 postes de professeurs d’Informatique sur la France. Sur environ 3000 lycées, il va falloir chercher la virgule pour couper des profs en deux.

Il y a un début à tout et l’initiative était à prendre d’urgence. Car oui aussi incroyable que cela puisse paraître, il n’y a pas, en France en 2020, de professeur d’informatique à proprement parler.

La raison est simple. Qui comprend vraiment quelque chose à l’informatique ? Je ne parle pas de cliquer sur un bouton pour fermer une fenêtre, ou utiliser tel ou tel logiciel, ou poster 30 stories par jour sur tel ou tel réseau social. Je parle de compréhension des concepts.

Un citoyen qui doit voter pour tel ou tel candidat doit comprendre les enjeux liés aux bouleversements que cette science, conjuguée aux nouvelles capacités technologiques, peut engendrer.

L’intelligence artificielle est un fantasme tant qu’on ne comprend pas comment elle fonctionne: son carburant, son moteur, ses limites. Mais avant de parler d’I.A, il y a tellement de concepts fondamentaux à appréhender ! Ils ne sont pas naturels, tout comme ne le sont pas l’addition, la multiplication, la division, les fonctions, les vecteurs etc.

Ouf, un CAPES est créé. Que va t-on y enseigner ? Qui va daigner faire ce métier ? Les compétences nécessaires pour apprendre l’essentiel sont-elles en rapport avec le salaire que pourront espérer les jeunes promus ?

Désolé pour le lien vers Youtube (Mr Dowek n’a pas partagé ailleurs à ma connaissance). C’était en 2015 mais les questions restent les mêmes en 2020.

Algèbre

Matrices génériques et Théorème de Hamilton Cayley

mars 28, 2020 Libremaths Laisser un commentaire

Voilà un objet dont j’ai appris l’existence en parcourant l’excellent forum http://www.les-mathematiques.net/phorum/ . À la recherche d’une démonstration élégante du théorème de Hamilton-Cayley, je découvre un objet qui a véritablement modifié ma conception de l’algèbre.

Alors je ne vais pas faire durer le suspens plus longtemps et fabriquer la bébête. On se donne

$A=\mathbb{Z}\left[\left(x_{i,j}\rigtht)_{(i,j)\in n^2}\right]$

où $n$ est un entier naturel non nul, l’anneau des polynômes à coefficients entiers à $n^2$ indéterminées. Ce que l’on appelle la « matrice générique $G$ d’ordre $n$ » est la matrice $G\in M_n(A)$ de terme générique

$G_{i,j}=x_{i,j}$

Voilà ! À ce stade, on se demande bien ce qu’on pourrait en faire ! Pour exciter la curiosité que peut susciter cet objet, considérons un instant le polynôme caractéristique $\chi$ de cette matrice. C’est à dire

$\chi=\det (G- x I_n)\in A[x]$

Comme $A$ est intègre unitaire commutatif (vu que $\mathbb{Z}$ l’est), $A$ se plonge dans son corps des fractions $\overline{A}$ et donc

$\chi\in \overline{A}[x]$

Soit $k$ un corps de décomposition de $\chi$ . Alors le polynôme caractéristique de $G\in M_n(k)$ est scindé sur $k$ . Et c’est là que la magie opère: ses racines sont simples !

En effet, son discriminant $\Delta$ (à savoir le résultant de $\chi$ et de $\chi'$ ) est un polynôme dans $A$ . Si celui-ci était nul, alors en l’évaluant par exemple via $x_{i,j} \to i \delta_{i,j}$ , c’est à dire en créant une instance de $G$ égale à la matrice diagonale $D\left((i)_{i\in n}\right)$ , on obtiendrait le résultant de $\prod_{i\in n} x-i$ qui serait nul. Ce qui est absurde car toutes les racines de ce dernier sont simples et qu’il est à coefficients dans un anneau factoriel.

La conclusion de tout ceci est que si maintenant $f$ est un endomorphisme d’un espace vectoriel $E$ de dimension finie sur un corps quelconque $K$ , alors $\chi_f$ annule $f$ . En effet, si on note $M$ la matrice de $f$ (dans une base quelconque fixée de $E$ ) alors le morphisme d’anneaux envoyant $G$ sur $M$ envoie $\chi$ sur $\chi_f$ et comme $\chi(G)$ est nulle il en est de même de $\chi_f(M)$ donc de $\chi_f(f)$ .

Certes, cette preuve ne semble pas plus courte que celles qu’on trouve un peu partout. Mais elle est de loin plus riche d’enseignements et ne recourt à aucun calcul astucieux basé sur des manipulations de lignes / colonnes de matrices. Elle est surtout très féconde, comme on le verra dans d’autres articles où il sera question de résoudre des problèmes classiques d’algèbre linéaire.

Non catégorisé

Et c’est là que tout a commencé

mars 27, 2020 Libremaths Laisser un commentaire

Car oui, il faut bien un début. Ma seule envie: partager ce qui m’émerveille.

LibreMaths