Si vous avez suivi le conte https://www.libremaths.fr/2020/05/04/un-reste-loin-dans-la-suite-de-fibonacci/, que vous vous êtes dit « heureusement qu’on a des ordinateurs » et que vous aimez croire qu’ils nous sont indispensables, ne lisez surtout pas la suite !
Hé oui, vous vous en doutiez peut-être, la force de la pensée humaine suffisait. Inutile d’aller chercher l’arsenal technologique pour répondre à cette fameuse question : quel est le reste par 25 du terme d’indice de la suite de Fibonacci ? Question dont, je le rappelle, la réponse est parfaitement inutile, et donc parfaitement indispensable à tout esthète qui se respecte 🙂
Une façon élégante (à mon goût), de voir le problème est de choisir de travailler dans un anneau bien adapté au problème. Allons-y et commençons par considérer ,
et
. On note enfin
l’épimorphisme canonique de
sur son quotient
. Les éléments de
seront notés
pour
.
Alors est un
module libre de base
. Par récurrence, on en déduit immédiatement que:
De plus,, en utilisant l’égalité et le fait que
est un morphisme d’anneaux, on obtient :
Or, pour , on a
et donc











On peut même aller plus loin (attention, on se rapproche de l’infini et l’au delà) : comme , et que
, on en déduit que


Et voilà la démystification 🙂