Un reste, loin dans la suite de Fibonacci

Épisode 1 : ça parle de quoi cet article ?

Le plus simple est que je vous le raconte en vidéo 😉

Petite remarque: dans cette vidéo je donne un ordre de grandeur du nombre de chiffres de F_N. Mais en fait en notant r=\frac{\ln\phi}{\ln10}, en majorant \ln(1+x) par x (pour x>0), on obtient assez facilement

    \[nr-\frac{\ln5}{2\ln10}-2^{-n}<x<nr-\frac{\ln5}{2\ln10}+2^{-n}\]


Pour n=N=10^{18} on obtient au dixième près

    \[x\sim208987640249978733,8\]


ce qui montre que F_{N} possède exactement 208987640249978734 chiffres.

Épisode 2 : si on essayait …

…malgré tout de coder le calcul des termes dans un langage compilé ? (ou encore: si je trouvais un prétexte pour jouer avec le langage Ada ?)

Première partie :

Deuxième partie :

Troisième épisode : les maths à la rescousse !

Un peu d’algèbre linéaire et la fameuse « exponentiation rapide ». Un algorithme qui décoiffe 🙂

Quatrième épisode : encore des maths !

Mais là, on part dans le monde de l’arithmétique modulaire pour appliquer l’algorithme d’exponentiation rapide

Épilogue

On implémente tout ce qu’on a vu en Ada pour donner une réponse instantanée à notre problème

Erratum: il s’agit de monsieur Daniel Feneuille (et non David) dont je voulais parler. Au passage, ses cours sont disponibles ici : https://ada.developpez.com/cours/iut/

Je vous parlais aussi d’un papier que j’ai rédigé sur les suites récurrentes linéaires d’ordre 2 (pour un public averti) :

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