Voilà un objet dont j’ai appris l’existence en parcourant l’excellent forum http://www.les-mathematiques.net/phorum/ . À la recherche d’une démonstration élégante du théorème de Hamilton-Cayley, je découvre un objet qui a véritablement modifié ma conception de l’algèbre.
Alors je ne vais pas faire durer le suspens plus longtemps et fabriquer la bébête. On se donne














En effet, son discriminant (à savoir le résultant de
et de
) est un polynôme dans
. Si celui-ci était nul, alors en l’évaluant par exemple via
, c’est à dire en créant une instance de
égale à la matrice diagonale
, on obtiendrait le résultant de
qui serait nul. Ce qui est absurde car toutes les racines de ce dernier sont simples et qu’il est à coefficients dans un anneau factoriel.
La conclusion de tout ceci est que si maintenant est un endomorphisme d’un espace vectoriel
de dimension finie sur un corps quelconque
, alors
annule
. En effet, si on note
la matrice de
(dans une base quelconque fixée de
) alors le morphisme d’anneaux envoyant
sur
envoie
sur
et comme
est nulle il en est de même de
donc de
.
Certes, cette preuve ne semble pas plus courte que celles qu’on trouve un peu partout. Mais elle est de loin plus riche d’enseignements et ne recourt à aucun calcul astucieux basé sur des manipulations de lignes / colonnes de matrices. Elle est surtout très féconde, comme on le verra dans d’autres articles où il sera question de résoudre des problèmes classiques d’algèbre linéaire.