Matrices génériques et Théorème de Hamilton Cayley

Voilà un objet dont j’ai appris l’existence en parcourant l’excellent forum http://www.les-mathematiques.net/phorum/ . À la recherche d’une démonstration élégante du théorème de Hamilton-Cayley, je découvre un objet qui a véritablement modifié ma conception de l’algèbre.

Alors je ne vais pas faire durer le suspens plus longtemps et fabriquer la bébête. On se donne

    \[A=\mathbb{Z}\left[\left(x_{i,j}\rigtht)_{(i,j)\in n^2}\right]\]

n est un entier naturel non nul, l’anneau des polynômes à coefficients entiers à n^2 indéterminées. Ce que l’on appelle la « matrice générique G d’ordre n » est la matrice G\in M_n(A) de terme générique

    \[G_{i,j}=x_{i,j}\]

Voilà ! À ce stade, on se demande bien ce qu’on pourrait en faire ! Pour exciter la curiosité que peut susciter cet objet, considérons un instant le polynôme caractéristique \chi de cette matrice. C’est à dire

    \[\chi=\det (G- x I_n)\in A[x]\]

Comme A est intègre unitaire commutatif (vu que \mathbb{Z} l’est), A se plonge dans son corps des fractions \overline{A} et donc

    \[\chi\in \overline{A}[x]\]

Soit k un corps de décomposition de \chi. Alors le polynôme caractéristique de G\in M_n(k) est scindé sur k. Et c’est là que la magie opère: ses racines sont simples !

En effet, son discriminant \Delta (à savoir le résultant de \chi et de \chi') est un polynôme dans A. Si celui-ci était nul, alors en l’évaluant par exemple via x_{i,j} \to i \delta_{i,j}, c’est à dire en créant une instance de G égale à la matrice diagonale D\left((i)_{i\in n}\right), on obtiendrait le résultant de \prod_{i\in n} x-i qui serait nul. Ce qui est absurde car toutes les racines de ce dernier sont simples et qu’il est à coefficients dans un anneau factoriel.

La conclusion de tout ceci est que si maintenant f est un endomorphisme d’un espace vectoriel E de dimension finie sur un corps quelconque K, alors \chi_f annule f. En effet, si on note M la matrice de f (dans une base quelconque fixée de E) alors le morphisme d’anneaux envoyant G sur M envoie \chi sur \chi_f et comme \chi(G) est nulle il en est de même de \chi_f(M) donc de \chi_f(f).

Certes, cette preuve ne semble pas plus courte que celles qu’on trouve un peu partout. Mais elle est de loin plus riche d’enseignements et ne recourt à aucun calcul astucieux basé sur des manipulations de lignes / colonnes de matrices. Elle est surtout très féconde, comme on le verra dans d’autres articles où il sera question de résoudre des problèmes classiques d’algèbre linéaire.

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