Matrices génériques et Théorème de Hamilton Cayley

Voilà un objet dont j’ai appris l’existence en parcourant l’excellent forum http://www.les-mathematiques.net/phorum/ . À la recherche d’une démonstration élégante du théorème de Hamilton-Cayley, je découvre un objet qui a véritablement modifié ma conception de l’algèbre.

Alors je ne vais pas faire durer le suspens plus longtemps et fabriquer la bébête. On se donne

$A=\mathbb{Z}\left[\left(x_{i,j}\rigtht)_{(i,j)\in n^2}\right]$

où $n$ est un entier naturel non nul, l’anneau des polynômes à coefficients entiers à $n^2$ indéterminées. Ce que l’on appelle la « matrice générique $G$ d’ordre $n$ » est la matrice $G\in M_n(A)$ de terme générique

$G_{i,j}=x_{i,j}$

Voilà ! À ce stade, on se demande bien ce qu’on pourrait en faire ! Pour exciter la curiosité que peut susciter cet objet, considérons un instant le polynôme caractéristique $\chi$ de cette matrice. C’est à dire

$\chi=\det (G- x I_n)\in A[x]$

Comme $A$ est intègre unitaire commutatif (vu que $\mathbb{Z}$ l’est), $A$ se plonge dans son corps des fractions $\overline{A}$ et donc

$\chi\in \overline{A}[x]$

Soit $k$ un corps de décomposition de $\chi$ . Alors le polynôme caractéristique de $G\in M_n(k)$ est scindé sur $k$ . Et c’est là que la magie opère: ses racines sont simples !

En effet, son discriminant $\Delta$ (à savoir le résultant de $\chi$ et de $\chi'$ ) est un polynôme dans $A$ . Si celui-ci était nul, alors en l’évaluant par exemple via $x_{i,j} \to i \delta_{i,j}$ , c’est à dire en créant une instance de $G$ égale à la matrice diagonale $D\left((i)_{i\in n}\right)$ , on obtiendrait le résultant de $\prod_{i\in n} x-i$ qui serait nul. Ce qui est absurde car toutes les racines de ce dernier sont simples et qu’il est à coefficients dans un anneau factoriel.

La conclusion de tout ceci est que si maintenant $f$ est un endomorphisme d’un espace vectoriel $E$ de dimension finie sur un corps quelconque $K$ , alors $\chi_f$ annule $f$ . En effet, si on note $M$ la matrice de $f$ (dans une base quelconque fixée de $E$ ) alors le morphisme d’anneaux envoyant $G$ sur $M$ envoie $\chi$ sur $\chi_f$ et comme $\chi(G)$ est nulle il en est de même de $\chi_f(M)$ donc de $\chi_f(f)$ .

Certes, cette preuve ne semble pas plus courte que celles qu’on trouve un peu partout. Mais elle est de loin plus riche d’enseignements et ne recourt à aucun calcul astucieux basé sur des manipulations de lignes / colonnes de matrices. Elle est surtout très féconde, comme on le verra dans d’autres articles où il sera question de résoudre des problèmes classiques d’algèbre linéaire.

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