2020 en France naissance d’un CAPES d’Informatique ?

On parle du recrutement de 1500 postes de professeurs d’Informatique sur la France. Sur environ 3000 lycées, il va falloir chercher la virgule pour couper des profs en deux.

Il y a un début à tout et l’initiative était à prendre d’urgence. Car oui aussi incroyable que cela puisse paraître, il n’y a pas, en France en 2020, de professeur d’informatique à proprement parler.

La raison est simple. Qui comprend vraiment quelque chose à l’informatique ? Je ne parle pas de cliquer sur un bouton pour fermer une fenêtre, ou utiliser tel ou tel logiciel, ou poster 30 stories par jour sur tel ou tel réseau social. Je parle de compréhension des concepts.

Un citoyen qui doit voter pour tel ou tel candidat doit comprendre les enjeux liés aux bouleversements que cette science, conjuguée aux nouvelles capacités technologiques, peut engendrer.

L’intelligence artificielle est un fantasme tant qu’on ne comprend pas comment elle fonctionne: son carburant, son moteur, ses limites. Mais avant de parler d’I.A, il y a tellement de concepts fondamentaux à appréhender ! Ils ne sont pas naturels, tout comme ne le sont pas l’addition, la multiplication, la division, les fonctions, les vecteurs etc.

Ouf, un CAPES est créé. Que va t-on y enseigner ? Qui va daigner faire ce métier ? Les compétences nécessaires pour apprendre l’essentiel sont-elles en rapport avec le salaire que pourront espérer les jeunes promus ?

Désolé pour le lien vers Youtube (Mr Dowek n’a pas partagé ailleurs à ma connaissance). C’était en 2015 mais les questions restent les mêmes en 2020.

Matrices génériques et Théorème de Hamilton Cayley

Voilà un objet dont j’ai appris l’existence en parcourant l’excellent forum http://www.les-mathematiques.net/phorum/ . À la recherche d’une démonstration élégante du théorème de Hamilton-Cayley, je découvre un objet qui a véritablement modifié ma conception de l’algèbre.

Alors je ne vais pas faire durer le suspens plus longtemps et fabriquer la bébête. On se donne

    \[A=\mathbb{Z}\left[\left(x_{i,j}\rigtht)_{(i,j)\in n^2}\right]\]

n est un entier naturel non nul, l’anneau des polynômes à coefficients entiers à n^2 indéterminées. Ce que l’on appelle la « matrice générique G d’ordre n » est la matrice G\in M_n(A) de terme générique

    \[G_{i,j}=x_{i,j}\]

Voilà ! À ce stade, on se demande bien ce qu’on pourrait en faire ! Pour exciter la curiosité que peut susciter cet objet, considérons un instant le polynôme caractéristique \chi de cette matrice. C’est à dire

    \[\chi=\det (G- x I_n)\in A[x]\]

Comme A est intègre unitaire commutatif (vu que \mathbb{Z} l’est), A se plonge dans son corps des fractions \overline{A} et donc

    \[\chi\in \overline{A}[x]\]

Soit k un corps de décomposition de \chi. Alors le polynôme caractéristique de G\in M_n(k) est scindé sur k. Et c’est là que la magie opère: ses racines sont simples !

En effet, son discriminant \Delta (à savoir le résultant de \chi et de \chi') est un polynôme dans A. Si celui-ci était nul, alors en l’évaluant par exemple via x_{i,j} \to i \delta_{i,j}, c’est à dire en créant une instance de G égale à la matrice diagonale D\left((i)_{i\in n}\right), on obtiendrait le résultant de \prod_{i\in n} x-i qui serait nul. Ce qui est absurde car toutes les racines de ce dernier sont simples et qu’il est à coefficients dans un anneau factoriel.

La conclusion de tout ceci est que si maintenant f est un endomorphisme d’un espace vectoriel E de dimension finie sur un corps quelconque K, alors \chi_f annule f. En effet, si on note M la matrice de f (dans une base quelconque fixée de E) alors le morphisme d’anneaux envoyant G sur M envoie \chi sur \chi_f et comme \chi(G) est nulle il en est de même de \chi_f(M) donc de \chi_f(f).

Certes, cette preuve ne semble pas plus courte que celles qu’on trouve un peu partout. Mais elle est de loin plus riche d’enseignements et ne recourt à aucun calcul astucieux basé sur des manipulations de lignes / colonnes de matrices. Elle est surtout très féconde, comme on le verra dans d’autres articles où il sera question de résoudre des problèmes classiques d’algèbre linéaire.